결함 트리 분석 : 얼마나 정확합니까?

 

소개:

FTA (Fault Tree Analysis)를 수행 할 때 작은 확률이 중요합니다. 예 : 미국 교통부 (ARP 4761 및 AC 23.1309-1E)에 따르면 치명적인 사건, 즉 "계속 안전한 비행 및 착륙을 방해하는 고장 조건"은 확률이 10보다 작아야합니다.^-9 비행 시간당. 철도 차량 산업에도 유사한 요구 사항이 존재합니다.
FTA 계산은 Excel 시트와 FTA 전용 소프트웨어를 사용하여 일상적으로 수행됩니다. 이 계산은 얼마나 정확합니까?
서로 다른 FTA 소프트웨어가 심각한 안전 사건으로 이어질 수있는 서로 다른 결과를 제공한다고 믿을만한 이유가 있습니다 (Keisner, A. 2003).
이 백서의 목적은 다양한 확률 계산 방법을 비교하고 잠재적 인 문제를 식별하고 해결책을 제시하는 것입니다.
FTA의 알려진 문제는 자르기 문제입니다. 즉, 최소 컷 세트 확률의 합산을 종료 할시기입니다. 이 문제는 문헌에서 다루어졌습니다 (Čepin, M. 2004; Epstein, S. & Rauzy, A. 2005).
이 백서에서는 단일 논리 게이트에 대한 확률 방정식의 순진한 구현으로 인해 심각한 컴퓨터 생성 오류가 발생하는 몇 가지 사례를 제시합니다.
우리가 논의하는 첫 번째 경우는 간단한 솔루션이 존재하는 OR 게이트입니다. 두 번째 및 세 번째 경우는보다 강력한 도전을 제기하는 동적 게이트 (대기 및 AND 우선 순위)입니다. 계산 오류의 원인과 문제에 대한 해결책에 대해 논의합니다.

 

OR 게이트 :

표준 IEC 61025 (IEC 61025, 2006)에 따라 OR 게이트의 시간 t까지 고장 확률 F (t)는 다음과 같이 제공됩니다.

(1)

 

어디 F_나는(t)는 시간 t까지 하위 이벤트 i의 발생 확률입니다. F의 값이_나는(t) 10 차의 작아진다^-16, 표준 계산 (Excel, Matlab 또는 기타 표준 프로그램 / 언어 사용)이 잘못된 결과를 제공합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
식. 1에는 1- Fi (t) 형식의 용어가 포함됩니다. 이 용어는 순서 1과 순서 10의 수를 혼합합니다.^-16즉, 번호를 정확하게 설명하려면 16 자리 이상의 숫자가 필요합니다. 표준 컴퓨터 계산에서는 정확도가 16 자리 미만인 배정 밀도 숫자를 사용합니다. 따라서 1-Fi (t) 형식의 항은 올바르게 계산되지 않습니다.
한 가지 가능한 해결책은 확률을 계산하기 위해 비표준 정밀도를 사용하는 것이지만 이러한 방법은 훨씬 더 많은 메모리와 시간을 소비합니다.
식. 1은 Eq. 1은 Sylvester–Poincaré 확장 (NUREG-0492 1981)에 따라 명시 적으로 작성되었습니다. 예를 들어, 세 개의 하위 이벤트가있는 케이스를 고려하십시오. 확장 식. 1은 다음을 제공합니다.

(2)

 

 

 

 

Eq. 2 주문 1의 기여가 취소되었습니다. 따라서 계산 오류가 방지됩니다.
예 : 각각 확률이 10 인 3 개의 이벤트를 고려하십시오.^-16. Eq의 간단한 구현. Matlab에서 1은 F (t) = 3.330669073875470e-016을 산출합니다.
Eq의 구현. 2는 F (t) = 2.999999999999999e-016을 제공합니다. 이 경우에 Eq. 1은 올바른 결과에서 11%의 편차를 제공했습니다. 다음으로 더 복잡한 사례가 제시됩니다.

 

대기 게이트 :

대기 게이트는 백업 장치가있는 시스템을 설명하는 데 사용됩니다. 여기서는 복구 불가의 경우에 대해 설명합니다. 예 : 위성 CPU를 고려하십시오. 위성 임무 기간 동안 높은 신뢰성을 달성하기 위해 여러 개의 백업 CPU가 설치됩니다. CPU에 장애가 발생하면 백업 장치 중 하나가 CPU를 교체합니다. 기본 및 모든 백업 CPU가 실패하면 심각한 실패가 발생합니다. N 개의 동일한 장치 (하나의 기본 및 N-1 백업)의 실패 확률은 다음과 같습니다.

(3)

 

 

여기서 f는 단일 CPU 장애 분포 함수입니다. f가 일정한 실패율 λ로 지수적일 때, Eq에 대한 분석 솔루션입니다. 3은 라플라스와 역 라플라스 변환을 적용하여 찾을 수 있습니다.

 

(4)

 

 

식. 4는 잠재적 인 문제를 보여줍니다 : Eq. 4는 1입니다. λ · t << 1 일 때, Eq. k = 0 인 두 번째 항의 4는 -1에 매우 가깝습니다. 즉 두 항이 거의 서로 상쇄됩니다. 이러한 경우 잘못된 계산 결과가 발생할 수 있습니다.
이 문제를 해결하기 위해 Eq. 4가 필요합니다. 식의 합계에 유의하십시오. 4는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

(5)

 

 

 

식 사용. 5, Eq. 4를 찾았습니다.

(6)

 

 

Eq. 6에는 더 이상 거의 취소되는 주문 조건 1이 없습니다. Eq. 6은 순서 (λ · t) N입니다. Eq를 사용하려면. 도 6에서 무한 항의 합을 위해 정지 조건이 필요하다. 정지 조건은 필요한 정확도에 따라 다릅니다.
예 : 4 개의 동일한 장치가 대기 구성에있는 시스템을 고려하십시오. 또한 λ · t = 10-5라고 가정합니다.

Eq 구현. Matlab에서 4는 부정적인 결과를 생성합니다. -2.220446049250313e-016 반면 Eq. 6은 4.166633333472224e-022를 제공합니다. 부정적인 결과는 "양호"입니다. 그러면 오류가 즉시 감지되기 때문입니다. 그러나 λ · t = 2 ∙ 10-5이면 Eq. Matlab에서 4는 1.110223024625157e-016을 산출하는 반면 Eq. 6은 6.666560000888887e-021을 제공합니다. 이 경우 Eq. 4는 4 자릿수 이상 틀린 결과를 제공하지만 감지하기는 어렵습니다. 이로 인해 불필요한 예비 장치가 추가 될 수 있습니다.

 

그리고 – 우선 순위 게이트 :

AND – Priority (ANDp) 이벤트는 모든 하위 이벤트가 특정 순서로 발생할 때 발생합니다. ANDp 이벤트는 일반적으로 여러 보호 계층이있는 시스템의 FTA에 존재합니다. ANDp 게이트는 1976 년 Fussel et al (Fussel, J. et al 1976)에 의해 처음 소개되었습니다.
예 : 총은 다음 이벤트가 순서대로 발생하는 경우에만 의도하지 않게 발사됩니다.
-총알 탄창이 총에 삽입됩니다.
-총이 장전되었습니다
-방아쇠를 당겼다
각각 발생률이 λ 인 N 개의 하위 이벤트의 경우를 고려하십시오_나는. ANDp 게이트의 발생 확률은 다음 형식의 컨볼 루션으로 제공됩니다.

(7)

 

 

어디서 f_나는(t)는 각각 고장률 λ를 갖는 지수 고장 분포입니다._나는. Eq의 컨볼 루션. 7은 Laplace 변환을 사용하여 풀 수 있습니다.
다른 실패율 λ 정의_{N + 1}=0.
계수 u 정의_나는 다음과 같이 :

(8)

 

 

 

그러면 F (t)는 다음과 같이 주어집니다.

(9)

 

 

식. 9는 Eq에서 convolution의 정확한 해입니다. 7. 단, 식을 계산하는 경우가 있습니다. 9는 잘못된 결과를 제공합니다.
하위 이벤트 확률이 작 으면 예상 값에서 상당한 편차가 발생합니다. 두 개의 하위 이벤트 (N = 2)의 간단한 경우를 고려하십시오. 이 경우 Eq. 9는 다음과 같이 감소합니다.

(10)

 

 

 

 

식. 10은 매우 가까운 값을 가진 숫자의 덧셈과 뺄셈을 포함하며 이것이 계산 문제의 원인입니다. 이것은 Eq에서 지수의 Taylor 확장이 더 명확 해집니다. 10이 사용됩니다.

(11)

 

 

 

Taylor 확장의 0 차 및 1 차 항은 상쇄됩니다. 취소는 분석적으로 식별하기 쉽지만 숫자 취소 (컴퓨터에 의한)는 정확하지 않으며 계산에 오류가 발생할 수 있습니다. 따라서 Eq. 11은 Eq에 비해 더 나은 계산 정확도를 제공합니다. 작은 확률이 존재할 때 10.

N 개의 하위 이벤트의 경우에 대한 결론을 일반화하려면 Eq. 9는 다른 형식으로 제공됩니다 (동등성 증명은 부록 참조).

(12)

 

 

 

 

Eq에서 지수의 테일러 확장. 12는 다음을 제공합니다.

(13)

 

 

 

 

식에서. 13 m = 0, 1, .., N-1에 대한 기여가 상쇄된다는 것이 분명합니다 (행렬의 선형 종속성으로 인해). 따라서 작은 확률이 존재할 때 F (t)를 정확하게 계산하려면 순서 N에서 시작하는 Taylor 확장이 필요합니다.
Eq에 두 가지 추가 개선 사항을 적용 할 수 있습니다. 13 :
Eq에서 행렬의 두 번째 행에 주목하십시오. 13은 1 열입니다. 또한 Eq에서 행렬의 마지막 열입니다. 13은 0으로 가득 차 있습니다 (한 가지 예외가 있음). 이를 통해 매트릭스의 차원 축소가 가능합니다.

(14)

 

 

 

 

식 .14의 분모에는 (u_제이-유_케이), u의 값이_제이 그리고 너_케이 유사하므로 다음 방정식을 사용하십시오.

(15)

 

 

 

 

식. 15는 Eq에 비해 훨씬 더 강력합니다. 9.
식에서 행렬의 열이있는 특수한 경우에는 더 많은 문제가 발생할 수 있습니다. 15는 가치가 매우 비슷합니다. 이러한 문제를 극복하는 방법은이 섹션에서 설명한 방법과 정신적으로 유사합니다.
예 : 두 개의 유사한 사건이 λ₁· t = 10^-8 및 λ₂· t = 10^-8. 각 사건의 발생 확률은 10입니다.^-8따라서 두 사건이 발생하고 사건 2 이전에 사건 1이 발생할 확률은 다음과 같습니다. 5 · 10^-17. Eq 구현. Matlab에서 10은 8.271806125530277e-17, 즉 올바른 결과에서 65%의 편차를 산출합니다. Eq. 15는 올바른 결과를 제공합니다.

그림 1은 BQR FTA 소프트웨어 (BQR FTA 사용자 매뉴얼)를 사용하여 위에서 설명한 경우의 결함 트리 다이어그램을 보여줍니다.

 

그림 1. 결함 트리 두 개의 하위 이벤트가있는 AND 우선 순위 게이트의 다이어그램.

 

토론 및 결론 :

OR, Standby 및 AND의 확률 계산 – 우선 순위 게이트가 조사되었습니다. 확률 방정식의 순진한 구현은 계산 오류와 심지어 부정적인 결과를 초래할 수 있음이 밝혀졌습니다.
확률 방정식의 대체 표현을 사용하여 정확한 계산을 얻을 수 있음을 보여주었습니다.

BQR의 FTA 소프트웨어 높은 정확도, 유연성 및 계산 속도를 제공합니다.

 

부록

방정식 간의 동등성 증명. 9 및 12 :
Eq. 12 라이프니츠 공식 1에 따라 행렬식을 확장하면 다음을 얻을 수 있습니다.

(A1)

 

 

 

 

식의 결정자. A1은 Vandermonde 행렬식의 형식이므로 다음과 같습니다.

(A2)

 

 

 

 

식. A2는 분자와 분모에서 유사한 용어를 인식하여 단순화됩니다.

(A3)

 

 

 

 

 

j = i 및 k = i 인 경우를 고려하여 추가 단순화를 얻을 수 있습니다.

(A4)

 

 

 

 

바꾸기 (u_제이-유_나는)와 (u_나는-유_제이) 기호 변경을 고려하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

(A5)

 

 

 

 

 

그리고 마지막으로 Eq. 9가 복구됩니다.

(A6)

 

 

 

 

참고 문헌

AC 23.1309-1E, 연방 항공국, 미국 교통부

 

ARP 4761, 민간 항공 시스템 및 장비에 대한 안전 평가 프로세스 수행을 위한 지침 및 방법, SAE International

 

BQR FTA 사용자 매뉴얼

 

Čepin, M. (2005), 확률 론적 안전성 평가에서 절단 한계 분석. 신뢰성 엔지니어링 및 시스템 안전 87, 395-403

 

Epstein, S. & Rauzy, A. (2005). PRA를 신뢰할 수 있습니까? 신뢰성 엔지니어링 및 시스템 안전 88, 195-205

 

Fussel, J., Aber, E. 및 Rahl, R. (1976). 우선 순위 및 실패 논리의 정량적 분석. 신뢰성에 대한 IEEE 트랜잭션 R-25 (5), 324–326

 

IEC 61025, 2006, FTA (Fault Tree Analysis), 국제 전기 기술위원회

 

Keisner A., 2003, 신뢰성 분석 기술 비교, 우주 왕복선에 적용됨, 우주 시스템 설계 실험실, Georgia Tech, 35

 

NUREG-0492, 1981, 결함 트리 핸드북, 시스템 및 신뢰성 연구, 원자력 규제 연구실, 미국 원자력 규제위원회, VI-4